13612. Точка H
— ортоцентр треугольника ABC
, BE
— высота, P
— точка на описанной окружности треугольника, отличная от A
, B
и C
. Четырёхугольники PAQB
и PARC
— параллелограммы, а прямые AQ
и HR
пересекаются в точке X
. Докажите, что EX\parallel AP
.
Решение. Прямые AX
и PB
параллельны, а точки A
, B
, P
, C
лежат на одной окружности, поэтому
\angle XAP=\angle APB=\angle ACB.
Поскольку AH\perp BC
и BH\perp AC
, то \angle ACB=\angle AHE
, поэтому \angle XAP=\angle AHE
.
Поскольку APCR
— параллелограмм, а точки A
, B
, P
, C
лежат на одной окружности, то
\angle ARC=\angle APC=\angle ABC,
а так как AH\perp BC
и CH\perp AB
, то
\angle AHC+\angle ABC=180^{\circ}~\Rightarrow~\angle AHC+\angle ARC=180^{\circ}.
Значит, точки A
, H
, C
, R
лежат на одной окружности, поэтому
\angle AHR=\angle ACR=\angle CAP.
Таким образом,
\angle XAE=\angle XAP-\angle CAP=\angle AHE+\angle AHR=\angle XHE.
Значит, точки X
, A
, H
, E
лежат на одной окружности, поэтому
\angle AEX=\angle AHX=\angle AHR.
Тогда \angle AEX=\angle CAP
. Следовательно, EX\parallel AP
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1998, № 8, задача 9, с. 470
Источник: Международная математическая олимпиада. — 1997, из материалов жюри