13613. Точка O
— центр квадрата ABCD
, точка P
лежит внутри квадрата и отлична от O
. Описанные окружности треугольников PAB
и PCD
пересекаются в точках P
и Q
, а описанные окружности треугольников PAD
и PBC
— в точках P
и R
. Докажите, что QR=2OP
.
Решение. Через точку O
проведём прямые l
и m
, соответственно параллельные BC
и AB
. Тогда l
— общий серединный перпендикуляр к отрезкам AB
и CD
, поэтому на ней лежат центры описанных окружностей треугольников APB
и CPD
, а так как прямая, проходящая центры пересекающихся окружностей, — серединный перпендикуляр к их общей хорде, то l
— серединный перпендикуляр и к отрезку PQ
. Тогда OP=OQ
. Аналогично, OP=OR
. Значит, OP=OQ=OR
, т. е. O
— центр описанной окружности треугольника PQR
.
Поскольку PQ\parallel AB
и PR\parallel BC
, прямые PQ
и PR
перпендикулярны, поэтому треугольник QPR
прямоугольный с прямым углом при вершине P
. Значит, центр O
его описанной окружности — середина гипотенузы QR
. Следовательно,
QR=2OQ=2OP.
Что и требовалось доказать.