13614. На сторонах BC
, AC
и AB
отмечены точки соответственно A'
, B'
и C'
, для которых треугольник A'B'C'
подобен треугольнику ABC
. Найдите геометрическое место ортоцентров треугольников A'B'C'
.
Ответ. Центр описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Рассмотрим случай остроугольного треугольника ABC
.
Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
, \angle BCA=\gamma
. Тогда из условия следует, что \angle B'A'C'=\alpha
, \angle A'B'C'=\beta
, \angle B'C'A'=\gamma
.
Пусть высоты A'A''
, B'B''
и C'C''
треугольника A'B'C'
пересекаются в точке H'
. Тогда
\angle B'H'C''=\angle B'A'C'=\alpha,~\angle A'H'C''=\angle A'B'C'=\beta,
поэтому
\angle B'H'A'=\angle B'H'C''+\angle A'H'C''=\alpha+\beta=180^{\circ}-\gamma=180^{\circ}-\angle B'CA'.
Значит, четырёхугольник CB'H'A'
вписанный, поэтому
\angle H'CA=\angle H'CB'=\angle H'A'B'=90^{\circ}-\angle A'B'A''=90^{\circ}-\beta.
Аналогично,
\angle H'AC=90^{\circ}-\beta,
поэтому треугольник AH'C
равнобедренный, H'A=H'C
. Аналогично, H'A=H'B
. Таким образом, H'C=H'A=H'B
. Следовательно, искомое ГМТ состоит из одной точки — центра описанной окружности треугольника ABC
.
Аналогично для неостроугольного треугольника ABC
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1998, № 8, задача AH207, с. 490