13620. На сторонах AB
и AC
остроугольного треугольника ABC
вне треугольника построены равносторонние треугольники ABD
и ACE
. Прямые BE
и AC
пересекаются в точке E
, а прямые CD
и AB
— в точке F
. Оказалось, что четырёхугольник AFPG
и треугольник PBC
равновелики. Найдите угол BAC
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
.
Из равенства S_{AFPG}=S_{\triangle PBC}
следует равенство S_{\triangle ABG}=S_{\triangle BFC}
, т. е.
\frac{1}{2}AG\cdot AB\sin\alpha=\frac{1}{2}BF\cdot BC\sin\beta,
откуда
\frac{AG}{BF}=\frac{BC\sin\beta}{AB\sin\alpha}=\frac{a}{c}\cdot\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}=\frac{a}{c}\cdot\frac{b}{a}=\frac{b}{c}.
Аналогично, \frac{AF}{CG}=\frac{c}{b}
, значит, \frac{AG}{CG}=\frac{BF}{AF}
.
Пусть \angle AEG=\varphi
, \angle BDF=\omega
. По теореме синусов из треугольников AEG
и CEG
получаем
\frac{AG}{\sin\angle AEG}=\frac{AE}{\sin\angle AGE}=\frac{CE}{\sin(180^{\circ}-\angle AGE)}=\frac{CG}{\sin\angle CEG},
или \frac{AG}{\sin\varphi}=\frac{CG}{\sin(60^{\circ}-\varphi)}
. Аналогично, \frac{BF}{\sin\omega}=\frac{AF}{\sin(60^{\circ}-\omega)}
.
Следовательно,
\frac{\sin\varphi}{\sin(180^{\circ}-\varphi)}=\frac{AG}{CG}=\frac{BF}{AF}=\frac{\sin\angle BDF}{\sin\angle FDA}=\frac{\sin\omega}{\sin(180^{\circ}-\omega)}.
Таким образом,
\sin\varphi\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\omega-\frac{1}{2}\sin\omega\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\varphi-\frac{1}{2}\sin\varphi\right)\sin\omega~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{\sqrt{3}}{2}(\sin\varphi\cos\omega-\cos\varphi\sin\omega)=0~\Leftrightarrow~\sin(\varphi-\omega)=0.
Поскольку \varphi\lt90^{\circ}
и \omega\lt90^{\circ}
, то \varphi=\omega
.
При повороте вокруг точки A
на угол 60^{\circ}
, переводящем точку D
в A
, точка C
переходит в E
, а прямая DC
— в прямую BE
. Значит, \angle FPG=120^{\circ}
. Сумма угол четырёхугольника DAEP
равна 360^{\circ}
, т. е.
360^{\circ}=\angle ADP+\angle DPE+\angle PEA+(60^{\circ}+\alpha+60^{\circ})=
=60^{\circ}-\omega+120^{\circ}+\varphi+120^{\circ}+\alpha,
а так как \varphi=\omega
, отсюда находим, что \alpha=60^{\circ}
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1999, № 1, задача 2304 (1998, с. 46), с. 56