13624. Отрезок AD
— биссектриса треугольника ABC
, E
— точка, симметричная точке D
относительно середины стороны BC
, а F
— точка на стороне BC
, для которой \angle BAF=\angle EAC
. Докажите, что BF:FC=c^{3}:b^{3}
, где c=AB
и b=AC
.
Решение. Пусть прямая, проведённая через точку B
параллельно AC
, пересекает прямую AF
в точке T
, а прямая, проведённая через точку C
параллельно AB
, пересекает прямую AE
в точке S
.
Углы ABT
и ACS
равны, так как каждый из них в сумме с углом BAC
составляет 180^{\circ}
. Значит, треугольники ABT
и ACS
подобны по двум углам. Тогда
\frac{BT}{CS}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}~\Rightarrow~BT=\frac{c}{b}\cdot CS.
Треугольник BFC
подобен треугольнику CFA
, а треугольник CES
— треугольнику BEA
, поэтому
\frac{BF}{FC}=\frac{BT}{AC}=\frac{BT}{b},~\frac{BE}{EC}=\frac{AB}{CS}=\frac{c}{CS}.
Из условия следует, что EC=BD
и BE=DC
. Тогда по свойству биссектрисы треугольника
\frac{c}{SC}=\frac{BE}{EC}=\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b},
откуда SC=\frac{c^{2}}{b}
. Следовательно,
\frac{BF}{FC}=\frac{BT}{b}=\frac{\frac{c}{b}\cdot CS}{b}=\frac{c}{b^{2}}\cdot CS=\frac{c}{b^{2}}\cdot\frac{c^{2}}{b}=\frac{c^{3}}{b^{3}}.