13629. Точка P
лежит внутри треугольника ABC
. Пусть BC=a
, CA=b
, AB=c
, PA=x
, PA=y
, PC=z
, \angle BPC=\alpha
, \angle CPA=\beta
, \angle APB=\gamma
. Докажите, что ax=by=cz
тогда и только тогда, когда \alpha-\angle A=\beta-\angle B=\gamma-\angle C=60^{\circ}
.
Решение. Рассмотрим случай остроугольного треугольника.
Пусть R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
, а M
, N
и L
— проекции точки P
на CA
, AB
и BC
соответственно.
Точки M
и N
лежат на окружности с диаметром AP=x
, поэтому
ax=2R\sin\angle A\cdot x=2R\cdot MN.
Аналогично,
ay=2R\cdot ML,~cz=2R\cdot ML.
Следовательно,
ax=by=cz~\Leftrightarrow~MN=NL=ML.
Из вписанных четырёхугольников BLPN
и CLPM
получаем
\angle ABP=\angle NLP,~\angle ACP=\angle MLP,
поэтому
\angle ABP+\angle ACP=(180^{\circ}-\angle BAP-\gamma)+(180^{\circ}-\angle CAP-\beta)=
=360^{\circ}-(\angle BAP+\angle CAP)-(\beta+\gamma)=
=360^{\circ}-\angle A-(360^{\circ}-\alpha)=\alpha-\angle A,
Значит,
\angle NLM=\angle NLP+\angle MLP=\angle ABP+\angle ACP=\alpha-\angle A.
Аналогично,
\angle LMN=\beta-\angle B,~\angle MNL=\gamma-\angle C.
Следовательно,
MN=NL=ML~\Leftrightarrow~\alpha-\angle A=\beta-\angle B=\gamma-\angle C=60^{\circ}.
Отсюда следует утверждение задачи.
Аналогично для неостроугольного треугольника.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1999, № 7, задача 2377 (1998, с. 425), с. 436