13630. Пусть r
и R
— радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника ABC
. Докажите, что
\cos^{2}\frac{\angle B-\angle C}{2}\geqslant\frac{2r}{R}.
Решение. Обозначим \angle A=\alpha
, \angle B=\beta
, \angle C=\gamma
. Тогда
\left(\cos\frac{\beta-\gamma}{2}-2\sin\frac{\alpha}{2}\right)^{2}\geqslant0~\Rightarrow~\cos^{2}\frac{\beta-\gamma}{2}\geqslant~4\cos\frac{\beta-\gamma}{2}\sin\frac{\alpha}{2}-4\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=
=4\sin\frac{\alpha}{2}\left(\cos\frac{\beta-\gamma}{2}-\cos\frac{\beta+\gamma}{2}\right)=8\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}=\frac{2r}{R}
(см. задачу 3225a).