13631. Внутри треугольника ABC
отмечена точка P
, для которой
\angle PBA=\angle PCA=\frac{\angle ABC+\angle ACB}{3}.
Докажите, что
\frac{AC}{AB+PC}=\frac{AB}{AC+PB}.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
, \angle ACB=\gamma
, \angle PBA=\angle PCA=\varphi
. По условию
\varphi=\frac{\beta+\gamma}{3},
поэтому
\alpha=180^{\circ}-(\alpha+\beta)=180^{\circ}-3\varphi.
Достроим треугольник ABC
до параллелограмма ABDC
, а треугольник APC
— до параллелограмма BPCQ
. Пусть прямые CQ
и AB
пересекаются в точке R
, а прямые BQ
и AC
— в точке S
. Тогда
\angle ARC=\angle ABP=\varphi,~\angle ASB=ACP=\varphi,
\angle PCR=\angle ACR-\angle PCA=(180^{\circ}-\angle BAC-\angle ARC)-\angle PCA=
=(180^{\circ}-\alpha-\varphi)-\varphi=180^{\circ}-\alpha-2\varphi=
=180^{\circ}-(180^{\circ}-3\varphi)-2\varphi=\varphi.
Поскольку
\angle BQR=\angle CQS=\angle BPQ=\angle PCQ=\angle PCR=\varphi,
то треугольники RBQ
и SCQ
равнобедренные, BR=BQ
и CS=CQ
. Значит,
AR=AB+BR=AB+BQ=AB+PC,
AS=AC+CS=AC+CQ=AC+BP.
Треугольники ARC
и ASB
подобны по двум углам, следовательно, \frac{AC}{AR}=\frac{AB}{AS}
, или
\frac{AC}{AB+PC}=\frac{AB}{AC+PB}.
Что и требовалось доказать.