13635. Точки E
и F
лежат на сторонах соответственно BC
и CD
квадрата ABCD
, а P
и Q
— проекции точки C
на прямые AE
и AF
соответственно. Докажите, что если \frac{CP}{AE}+\frac{CQ}{AF}=1
, то \angle EAF=45^{\circ}
.
Решение. Пусть сторона квадрата равна 1. Обозначим \angle CAP=\varphi
, \angle CAQ=\psi
. Тогда 0\leqslant\varphi\leqslant45^{\circ}
, 0\leqslant\varphi\leqslant45^{\circ}
.
Из прямоугольных треугольников APC
и ABE
получаем
CP=AC\sin\varphi=\sqrt{2}\sin\varphi,~AE=\frac{AB}{\cos(45^{\circ}-\varphi)}=\frac{1}{\cos(45^{\circ}-\varphi)}.
Значит,
\frac{CP}{AE}=\frac{\sqrt{2}\sin\varphi}{\frac{1}{\cos(45^{\circ}-\varphi)}}=\sqrt{2}\sin\varphi\cos(45^{\circ}-\varphi)=
=\sqrt{2}\cdot\frac{1}{2}(\sin(\varphi+(45^{\circ}-\varphi))+\sin(\varphi-(45^{\circ}-\varphi))=\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(2\varphi-45^{\circ}).
Аналогично,
\frac{CQ}{AF}=\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(2\psi-45^{\circ}).
Тогда
1=\frac{CP}{AE}+\frac{CQ}{AF}=\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(2\varphi-45^{\circ})+\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(2\psi-45^{\circ}),
или
\sin(2\varphi-45^{\circ})+\sin(2\psi-45^{\circ})=0~\Leftrightarrow~\sin(2\varphi-45^{\circ})=\sin(45^{\circ}-2\psi),
а так как 0\leqslant\varphi\leqslant45^{\circ}
и 0\leqslant\varphi\leqslant45^{\circ}
, то
2\varphi-45^{\circ}=45^{\circ}-2\psi,
откуда находим, что
\angle PAQ=\varphi+\psi=45^{\circ}.