1364. Пусть B
и C
— две точки на сторонах угла с вершиной A
. Окружности с диаметрами AC
и AB
вторично пересекаются в точке D
. Прямая AB
вторично пересекает окружность с диаметром AC
в точке K
, а прямая AC
вторично пересекает окружность с диаметром AB
в точке M
. Докажите, что прямые BM
, CK
и AD
пересекаются в одной точке.
Указание. Высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Решение. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90^{\circ}
, поэтому BD\perp AD
и CD\perp AD
. Значит, точки C
, B
и D
лежат на одной прямой. Кроме того BM\perp AC
, значит, AD
, CK
и BM
— высоты треугольника ABC
. Следовательно, прямые AD
, CK
и BM
пересекаются в одной точке.