13642. На отрезке AC
взята точка B
и на отрезках AB
, BC
, CA
как на диаметрах по одну сторону от AC
построены полуокружности S_{1}
радиуса a
, S_{2}
радиуса b
и S
. Окружность s
радиуса r
касается всех трёх полуокружностей. Найдите отношение \frac{a}{b}
, если a\gt b\gt r
и числа a
, b
и r
образуют арифметическую прогрессию.
Ответ. \sqrt[{3}]{{2}}
.
Решение. Пусть O_{1}
, O_{2}
, O
и I
— центры полуокружностей S_{1}
, S_{2}
, S
и окружности s
соответственно; D
, E
и F
— точки касания окружности s
с полуокружностями S_{1}
, S_{2}
и S
соответственно. Тогда радиус окружности S
равен a+b
.
Линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания, поэтому
O_{1}T=O_{1}D+DI=a+r,~O_{2}T=O_{2}E+EI=b+r,
OT=OF-IF=a+b-r,~OO_{1}=(a+b)-a=b,~OO_{2}=a.
Обозначим \angle FOC=\varphi
. По теореме косинусов из треугольников IOO_{2}
и IOO_{1}
получаем
(b+r)^{2}=(a+b-r)^{2}+a^{2}-2a(a+b-r)\cos\varphi,
(a+r)^{2}=(a+b-r)^{2}+b^{2}+2b(a+b-r)\cos\varphi.
Исключая \cos\varphi
из этих равенств, получаем
r=\frac{ab(a+b)}{a^{2}+ab+b^{2}}.
Из условия задачи следует, что b=\frac{a+r}{2}
, или
2b-a=r~\Rightarrow~2a-b=\frac{ab(a+b)}{a^{2}+ab+b^{2}}=\frac{ab(a^{2}-b^{2})}{a^{3}-b^{3}}~\Rightarrow
\Rightarrow~a^{4}-a^{3}b-2ab^{3}+2b^{4}=0.
Обозначив \frac{a}{b}=x
, получим
x^{4}-x^{3}-2x+2=0~\Leftrightarrow~(x^{3}-2)(x-1)=0.
Условию задачи удовлетворяет x=\sqrt[{3}]{{2}}
. Следовательно, \frac{a}{b}=\sqrt[{3}]{{2}}
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2000, № 4, задача 8, с. 195
Источник: Канадские математические олимпиады. — 1999