13643. Через точку W
, взятую внутри равностороннего треугольника ABC
, провели три прямые. Одна из них пересекает стороны BC
и AB
в точках D
и P
соответственно, вторая — стороны AC
и BC
в точках E
и M
соответственно, третья — стороны AB
и AC
в точках F
и N
соответственно. Оказалось, что \angle DWE=\angle EWF=\angle FWD=120^{\circ}
. Докажите, что треугольники DEF
и MNP
подобны.
Решение. Заметим, что углы между каждыми двумя из трёх проведённых прямых равны 60^{\circ}
, а четырёхугольники MWNC
, DWEC
, PWNA
и EWFA
вписанные. Значит,
\angle WNM=\angle WCM=\angle WXD=\angle WED,
\angle WNP=\angle WAP=\angle WAF=\angle WEF.
Тогда
\angle MNP=\angle WNM+\angle WNP=\angle WED+\angle WEF=\angle DEF.
Аналогично, \angle NPM=\angle EFD
. Следовательно, треугольники DEF
и MNP
подобны по двум углам.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2019, № 6, задача 4391, с. 365