13649. Углы \alpha
, \beta
и \gamma
треугольника удовлетворяют условию \cos\alpha\sin\frac{\alpha}{2}=\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}
. Докажите, что треугольник равнобедренный.
Решение. Поскольку
\gamma=180^{\circ}-(\alpha+\beta),
то
\cos\alpha\sin\frac{\alpha}{2}=\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}~\Leftrightarrow~\cos\alpha\sin\frac{\alpha}{2}=\sin\frac{\beta}{2}\sin\left(90^{\circ}-\frac{\alpha+\beta}{2}\right)~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\cos\alpha\sin\frac{\alpha}{2}=\sin\frac{\beta}{2}\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\sin\left(\frac{\alpha}{2}+\alpha\right)+\sin\left(\frac{\alpha}{2}-\alpha\right)=\sin\left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right)+\sin\left(-\frac{\alpha}{2}\right)~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\sin\frac{3}{2}\alpha=\sin\left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right).
Значит,
\frac{3}{2}\alpha=\beta+\frac{\alpha}{2}~\mbox{или}~\frac{3}{2}\alpha+\left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right)=180^{\circ}=\alpha+\beta+\gamma.
Следовательно, \alpha=\beta
или \alpha=\gamma
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2000, № 6, задача 2462 (1999, с. 308), с. 377