13650. В выпуклом шестиугольнике ABCDEF
противоположные стороны попарно параллельны, расстояния между ними равны, а углы FAB
и CDE
прямые. Докажите, что диагонали BE
и CF
пересекаются под углом 45^{\circ}
.
Решение. Опустим перпендикуляры CX
и CY
из вершины C
на прямые AF
и EF
соответственно. Из условия следует, что CX=CY
, поэтому прямоугольные треугольники CFX
и CFY
равны по катету и гипотенузе. Значит, \angle CFA=\angle CFE
, и FC
— биссектриса угла AFE
. Аналогично, EB
— биссектриса угла DEF
.
Пусть прямые AF
и DE
пересекаются в точке T
. Из параллельности получаем, что \angle ETF=90^{\circ}
, значит, FC
и EB
— биссектрисы внешних углов прямоугольного треугольника при вершинах F
и E
прямоугольного треугольника ETF
(их пересечение — центр вневписанной окружности этого треугольника). Следовательно (см. задачу 4770), угол между прямыми BE
и CF
равен
90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ETF=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}.
Что и требовалось доказать.