13657. Точки P
и Q
лежат на сторонах соответственно AB
и AD
вписанного четырёхугольника ABCD
, причём AP=CD
и AQ=BC
. Докажите, что точка M
пересечения AC
и OQ
— середина отрезка PQ
.
Решение. На продолжении стороны AD
за точку A
отложим отрезок AT=BC
. Тогда
AT=BC,~AP=CD,~\angle TAP=180^{\circ}-\angle BAD=\angle BCD,
поэтому треугольник ATP
равен треугольнику CBD
по двум сторонам и углу между ними. Значит,
\angle ATP=\angle CBD=\angle DAC.
Следовательно, AC\parallel TP
, а так как A
— середина отрезка TQ
, то по теореме Фалеса точка M
— середина отрезка PQ
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2000, № 8, задача 6 (1999, с. 74-75), с. 462
Источник: Австралийские математические олимпиады. — 1996