13658. Окружности C_{1}
и C_{2}
пересекаются в точках P
и Q
. Прямая, проходящая через точку P
, вторично пересекает C_{1}
и C_{2}
в точках A
и B
соответственно, точка X
— середина отрезка AB
. Прямая, проходящая через точки Q
и X
, вторично пересекает C_{1}
и C_{2}
в точках Y
и Z
соответственно. Докажите, что X
— середина отрезка YZ
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Точки A
, P
, Q
и Y
лежат на одной окружности, поэтому
\angle PAY=\angle PQY=\angle PQZ.
Точки B
, P
, Q
и Z
лежат на одной окружности, поэтому
\angle XBZ=\angle PBZ=\angle PQZ.
Значит, \angle PAY=\angle XBZ
, а так как углы AXY
и BXZ
равны как вертикальные и AX=XB
, то треугольники AXY
и BZX
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, XY=XZ
, т. е. X
— середина YZ
. Что и требовалось доказать.
Аналогично для остальных случаев.