13660. Во вписанном четырёхугольнике ABCD
угол ACB
вдвое больше угла CAD
, а угол ACD
вдвое больше угла BAC
. Докажите, что BC+CD=AC
.
Решение. Обозначим \angle CAD=\alpha
, \angle BAC=\beta
. Тогда
\angle ACB=2\alpha,~\angle ACD=2\beta,~\angle BCD=2\alpha+2\beta.
Четырёхугольник ABCD
вписанный, поэтому
\angle BAD+\angle BCD=180^{\circ},~\mbox{или}~\alpha+\beta+2(\alpha+\beta)=180^{\circ},
откуда \alpha+\beta=60^{\circ}
, или \alpha=60^{\circ}-\beta
.
Пусть радиус окружности, описанной около четырёхугольника ABCD
, равен R
. По теореме синусов
BC=2R\sin\beta,~CD=2R\sin\alpha=2R\sin(60^{\circ}-\beta).
Следовательно,
BC+CD=2R(\sin\beta+\sin\alpha)=2R(\sin\beta+\sin(60^{\circ}-\beta))=
=2R\left(\sin\beta+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\beta-\frac{1}{2}\sin\beta\right)=2R\left(\frac{1}{2}\sin\beta+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\beta\right)=
=2R\sin(60^{\circ}+\beta)=2R\sin((\alpha+\beta)+\alpha)=2R\sin(\alpha+2\beta)=AC.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2000, № 8, задача 2493 (1999, с. 506), с. 521