13669. Для каждой точки P
фиксированного отрезка AB
строятся по одну сторону от прямой AB
равнобедренные прямоугольные треугольники AQP
и BRP
с прямыми углами при вершинах Q
и R
. Найдите геометрическое место середин M
отрезков QR
.
Ответ. Средняя линия треугольника ABC
, где C
— вершина прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника ABC
.
Решение. Пусть C
— точка пересечения прямых AQ
и BR
. Поскольку CPQR
— прямоугольник, середина его диагонали QR
совпадает с серединой диагонали CP
, а значит, лежит на средней линии треугольника ABC
, параллельной AB
.
Обратно, для каждой точки M
средней линии треугольника ABC
отметим на отрезке AB
точку P
пересечения луча CM
с отрезком AB
и проведём через точку P
прямые параллельно BC
и AC
. Эти прямые пересекут катеты AC
и BC
в вершинах Q
и R
прямых углов равнобедренных прямоугольных треугольников AQP
и BRP
соответственно.
Следовательно, искомое ГМТ — средняя линия треугольника ABC
, параллельная AB
.
Примечание. Утверждение остаётся верным, если в качестве точек Q
и R
взять вершины любых подобных равнобедренных треугольников.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2001, № 2, задача 2 (1999, с. 134), с. 95
Источник: Датские математические олимпиады. — 1999