1367. В треугольнике ABC
проведены высоты AA_{1}
и BB_{1}
. Найдите AC
, если
а) AA_{1}=4
, BB_{1}=5
, BC=6
;
б) A_{1}C=8
, B_{1}C=5
, BB_{1}=12
.
Ответ. а) \frac{24}{5}
; б) \frac{104}{5}
.
Указание. а) Произведение основания на высоту для данного треугольника постоянно.
б) Треугольники CAA_{1}
и CBB_{1}
подобны.
Решение. а) Из равенства BC\cdot AA_{1}=AC\cdot BB_{1}
(удвоенная площадь треугольника ABC
) находим, что
AC=\frac{BC\cdot AA_{1}}{BB_{1}}=\frac{6\cdot4}{5}=\frac{24}{5}.
б) Из прямоугольного треугольника BB_{1}C
по теореме Пифагора находим, что
BC=\sqrt{BB^{2}+CB^{2}}=\sqrt{144+25}=13.
Из подобия прямоугольных треугольников CAA_{1}
и CBB_{1}
следует, что \frac{AC}{CA_{1}}=\frac{BC}{CB_{1}}
, откуда
AC=\frac{BC\cdot CA_{1}}{CB_{1}}=\frac{13\cdot8}{5}=\frac{104}{5}.