13672. На высоте треугольника ABC
, проведённой из вершины A
, отметили точку P
. Оказалось, что \angle PBA=20^{\circ}
, \angle PBC=40^{\circ}
и \angle PCB=30^{\circ}
. Найдите угол PCA
, не используя формулы тригонометрии.
Ответ. 20^{\circ}
.
Решение. Пусть лучи BP
и CP
пересекают стороны AC
и AB
в точках E
и F
соответственно. Тогда
\angle BFC=180^{\circ}-\angle CBF-\angle BCF=180^{\circ}-(40^{\circ}+20^{\circ})-30^{\circ}=90^{\circ},
поэтому CF
— тоже высота треугольника ABC
, а P
— его ортоцентр. Значит,
\angle BEC=\angle BFC=90^{\circ},
и точки E
и F
лежат на окружности с диаметром BC
. Следовательно,
\angle PCA=\angle FCA=\angle FCE=\angle FBE=20^{\circ}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2001, № 2, задача 2518 (2000, с. 115), с. 149