13673. Дан прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом при вершине B
и углом 40^{\circ}
при вершине C
. Точки P
и Q
расположены на катетах AB
и BC
соответственно, причём \angle PQB=20^{\circ}
. Без использования тригонометрии докажите, что AQ=2BQ
тогда и только тогда, когда PQ=CQ
.
Решение. Пусть R
— точка на катете AC
, для которой
\angle QRC=\angle QCA=40^{\circ}.
Тогда QR=QC
и \angle RQC=100^{\circ}
. Значит,
\angle PQR=180^{\circ}-100^{\circ}-20^{\circ}=60^{\circ}.
Достаточность. Пусть PQ=CQ
. Тогда PQ=CQ=QR
, а так как \angle PQR=60^{\circ}
, то треугольник PQR
равносторонний. Кроме того, поскольку \angle BPQ=70^{\circ}
, то
\angle APR=180^{\circ}-70^{\circ}--60^{\circ}=50^{\circ}=\angle PAB.
Значит, RA=RP=RQ
. Следовательно, по теореме о внешнем угле треугольника
\angle RAQ=\angle RQA=\frac{1}{2}\angle QRC=20^{\circ},
поэтому
\angle BAQ=\angle BAC-\angle RAQ=50^{\circ}-20^{\circ}=30^{\circ},
и AQ=2BQ
. Достаточность доказана.
Необходимость. Пусть AQ=2BQ
. Тогда \angle BAQ=30^{\circ}
. Значит,
\angle QAC=50^{\circ}-30^{\circ}=20^{\circ},
а так как по теореме о внешнем угле треугольника
\angle RQA=\angle BAC-\angle QAR=50^{\circ}-30^{\circ}=20^{\circ},
то RA=RQ
.
Пусть O
— центр описанной окружности треугольника APQ
. Поскольку
\angle APQ=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ},
то большая дуга PQ
этой окружности равна 220^{\circ}
, а меньшая — 140^{\circ}
. При этом точки P
и R
лежат по разные стороны от прямой AQ
. В то же время,
\angle ARQ=180^{\circ}-\angle QRC=180^{\circ}-40^{\circ}=140^{\circ}=\angle AOQ.
Следовательно, точка R
совпадает с O
, т. е. R
— центр описанной окружности треугольника APQ
.
Треугольник PQR
равносторонний, поэтому PQ=QR
, а так как QR=QC
, то PQ=QC
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2001, № 2, задача 2519 (2000, с. 115), с. 150