13674. Определите вид треугольника, если его углы \alpha
, \beta
и \gamma
удовлетворяют условию
\sin(\alpha-\beta)+\sin(\beta-\gamma)+\sin(\gamma-\alpha)=0.
Ответ. Равнобедренный (или равносторонний).
Решение. Применив известные формулы тригонометрии, получим
\sin(\alpha-\beta)+\sin(\beta-\gamma)+\sin(\gamma-\alpha)=
=2\sin\frac{(\alpha-\beta)+(\beta-\gamma)}{2}\cos\frac{(\alpha-\beta)-(\beta-\gamma)}{2}+2\sin\frac{\gamma-\alpha}{2}\cos\frac{\gamma-\alpha}{2}=
=2\sin\frac{\alpha-\gamma}{2}\cos\frac{\alpha-2\beta+\gamma}{2}+2\sin\frac{\gamma-\alpha}{2}\cos\frac{\gamma-\alpha}{2}=
=2\sin\frac{\alpha-\gamma}{2}\left(\cos\frac{\alpha-2\beta+\gamma}{2}+\cos\frac{\gamma-\alpha}{2}\right)=
=2\sin\frac{\alpha-\gamma}{2}\left(\cos\frac{\alpha-2\beta+\gamma}{2}-\cos\frac{\alpha-\gamma}{2}\right)=
=-4\sin\frac{\alpha-\gamma}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\sin\frac{\gamma-\beta}{2}.
Тогда из равенства
\sin\frac{\alpha-\gamma}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\sin\frac{\gamma-\beta}{2}
получаем, что \alpha=\gamma
или \alpha=\beta
или \gamma=\beta
. Следовательно, треугольник равнобедренный (или даже равносторонний).
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2001, № 4, задача H270, с. 257