13677. Найдите наименьшее и наибольшее значения площади треугольника по двум его известным высотам.
Ответ. Наименьшее значение равно произведению высот, а наибольшего значения не существует.
Решение. Пусть площадь треугольника ABC
с фиксированными высотами h_{b}
и h_{c}
, опущенными на стороны AC=b
и AB=c
, равна S
, а \angle BAC=\alpha
. Тогда
c=\frac{h_{b}}{\sin\alpha},~b=\frac{h_{c}}{\sin\alpha}.
Значит,
2S=bc\sin\alpha=b=\frac{h_{c}}{\sin\alpha}\cdot\frac{h_{b}}{\sin\alpha}\cdot\sin\alpha=\frac{h_{b}h_{c}}{\sin\alpha}\geqslant h_{b}h_{c},
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда \alpha=90^{\circ}
.
Если \alpha
стремится к 180^{\circ}
, то S
неограниченно возрастает.