13682. Стороны BC=a
, AC=b
и AB=c
треугольника ABC
удовлетворяют условиям b^{2}=ca+a^{2}
и c^{2}=ab+b^{2}
. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. \angle A=\frac{\pi}{7}
, \angle B=\frac{2\pi}{7}
, \angle C=\frac{4\pi}{7}
.
Решение. Обозначим \angle A=\alpha
, \angle B=\beta
и \angle C=\gamma
. Из условия следует, что a\lt b\lt c
, поэтому \alpha\lt\beta\lt\gamma
.
По теореме косинусов
b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos\beta~\Rightarrow~ca=b^{2}-a^{2}=c^{2}-2ca\cos\beta~\Rightarrow~
~\Rightarrow~\frac{c}{a}-2\cos\beta=1~\Rightarrow~\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}-2\cos\beta=1
(по теореме синусов \frac{c}{a}=\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}
), а так как \sin\gamma=\sin(\alpha+\beta)
, то
\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta-2\cos\beta\sin\alpha=\sin\alpha,
или \sin(\beta-\alpha)=\sin\alpha
. Отсюда получаем, что \beta=2\alpha
.
Аналогично, из условия c^{2}=ab+b^{2}
получаем, что \gamma=2\beta
, поэтому
\gamma=2\beta=4\alpha,
а так как \alpha+\beta+\gamma=\pi
, то 7\alpha=\pi
. Следовательно,
\alpha=\frac{\pi}{7},~\beta=\frac{2\pi}{7},~\gamma=\frac{4\pi}{7}.