13687. Точка I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Докажите, что CA+AI=CB
тогда и только тогда, когда \angle CAB=2\angle ABC
.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
и \angle ABC=\beta
. Тогда
\angle IAC=\frac{\alpha}{2},~\angle IBC=\frac{\beta}{2}.
На продолжении стороны AC
за точку C
отложим отрезок AD=AC
. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle CDI=\frac{1}{2}\angle CAI=\frac{\alpha}{4}.
Необходимость. Пусть CA+AI=CB
. Тогда
CA+AI=CA+AD=CD~\Rightarrow~CD=CB,
а так как \angle DCI=\angle BCI
, то треугольники CDI
и CBI
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, \angle CDI=\angle CBI
, т. е. \frac{\alpha}{4}=\frac{\beta}{2}
. Следовательно, \alpha=2\beta
. Что и требовалось доказать.
Достаточность. Пусть \alpha=2\beta
. Тогда
\angle CDI=\frac{\alpha}{4}=\frac{\beta}{2}=\angle CBI,
а так как
\angle CID=180^{\circ}-\angle DCI-\angle CDI=180^{\circ}-\angle BCI-\angle CBI=\angle CIB,
то треугольники CDI
и CBI
равны по общей стороне CI
и двум прилежащим к ней углам. Значит, CD=CB
. Следовательно,
CA+AI=CD=CB.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2001, № 7, задача 2259 (2000, с. 305), с. 466