13688. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом при вершине C
. Окружность с центром A
и радиусом AC
пересекает гипотенузу AB
в точке D
. В фигуру, ограниченную дугой DC
и отрезками BC
и BD
, вписан квадрат EFGH
со стороной y
, причём точка E
лежит на дуге DC
, точка F
— на отрезке DB
, а точки G
и F
— на отрезке BC
. В предположении, что BC
— постоянная величина, а AC=x
— переменная, найдите наибольшее значение y
и соответствующее ему значение x
.
Ответ. \frac{1}{2}a(\sqrt{2}-1)
, где BC=a
; достигается при x=\frac{a}{\sqrt{2}}
.
Решение. Пусть BC=a
, а прямая EF
пересекает катет AC
в точке P
. Поскольку FE\parallel BC
, треугольники AFP
и ABC
подобны, поэтому
\frac{FP}{PA}=\frac{BC}{CA}~\Rightarrow~FP=PA\cdot\frac{BC}{CA}=\frac{a(x-y)}{x},
а так как EP=FP-FE
, то
EP=\frac{a(x-y)}{x}-y.
Из прямоугольного треугольника AEP
с гипотенузой AE=AC=x
и катетами
EP=\frac{a(x-y)}{x}-y,~AP=AC-CP=x-y
получаем
\left(\frac{a(x-y)}{x}-y\right)^{2}+(x-y)^{2}=x^{2},
или
(x-y)\left(\frac{a^{2}(x-y)}{x^{2}}-\frac{2ay}{x}-2y\right)=0.
Поскольку x\gt y
, то
\frac{a^{2}(x-y)}{x^{2}}-\frac{2ay}{x}-2y=0,
откуда
y=\frac{a^{2}x}{2x^{2}+2ax+a^{2}}=\frac{a^{2}}{2x+\frac{a^{2}}{x}+2a}\leqslant~\frac{a^{2}}{2\sqrt{\frac{{a}^{2}}{x}\cdot2x}+2a}=
=\frac{a^{2}}{2a\sqrt{2}+2a}=\frac{a}{2\sqrt{2}+2}=\frac{1}{2}a(\sqrt{2}-1),
причём равенство достигается, если \frac{a^{2}}{x}=2x
, т. е. при x=\frac{a}{\sqrt{2}}
.