13689. Точки M
и N
расположены внутри треугольника ABC
, причём \angle MAB=\angle NAC
и \angle MBA=\angle NBC
. Докажите, что
\frac{AM\cdot AN}{AB\cdot AC}+\frac{BM\cdot BN}{BA\cdot BC}+\frac{CM\cdot CN}{CA\cdot CB}=1.
Решение. На луче BN
отметим точку K
, для которой \angle BCK=\angle BMA
. Точка M
лежит внутри треугольника ABC
, поэтому \angle BMA\gt\angle BCA
, значит, точка K
лежит вне треугольника ABC
. Кроме того, так как
\angle NBA=\angle NBC=\angle KBC,
то треугольники ABM
и KBC
подобны по двум углам. Тогда
\frac{AB}{KB}=\frac{BM}{BC}=\frac{AM}{KC}~\Rightarrow~BK=\frac{AB\cdot BC}{BM}~\mbox{и}~CK=\frac{AM\cdot BC}{BM}.
Точка N
лежит внутри треугольника ABC
, поэтому
\angle ABK=\angle ABN=\angle ABC-\angle NBC=\angle ABC-\angle MBA=\angle MBC,
а так как \frac{AB}{KB}=\frac{BM}{BC}
, то треугольники ABK
и MBC
подобны по двум сторонам и углу между ними. Значит,
\frac{AB}{MB}=\frac{BK}{BC}=\frac{AK}{MC}~\Rightarrow~AK=\frac{AB\cdot MC}{BM}.
В первой паре подобных треугольников \angle BKC=\angle BAM
, поэтому
\angle NKC=\angle BKC=\angle MAB=\angle NAC.
Значит, четырёхугольник AKCN
вписанный. Тогда по теореме Птолемея
AC\cdot NK=AK\cdot NC+AN\cdot CK,\mbox{или}~AC\cdot(BK-BN)=AK\cdot NC+AN\cdot CK.
Поскольку
AK=\frac{AB\cdot MC}{BM},~BK=\frac{AB\cdot BC}{BM},~CK=\frac{AM\cdot BC}{BM},
то
AC\cdot\left(\frac{AB\cdot BC}{BM}-BN\right)=\frac{AB\cdot MC}{BM}\cdot NC+AN\cdot\frac{AM\cdot BC}{BM}~\Rightarrow~
~\Rightarrow~AC\cdot AB\cdot BC-AC\cdot BN\cdot BM=AB\cdot MC\cdot NC+AN\cdot AM\cdot BC~\Rightarrow~
\Rightarrow~1-\frac{BM\cdot BN}{BA\cdot BC}=\frac{CM\cdot CN}{CA\cdot CB}+\frac{AM\cdot AN}{AB\cdot AC}~\Rightarrow~
\Rightarrow~\frac{AM\cdot AN}{AB\cdot AC}+\frac{BM\cdot BN}{BA\cdot BC}+\frac{CM\cdot CN}{CA\cdot CB}=1.
Что и требовалось доказать.