1369. Найдите площадь трапеции, если её диагонали равны 17 и 113, а высота равна 15.
Ответ. 900 или 780.
Указание. Через вершину C
меньшего основания трапеции ABCD
(AC=17
, BD=113
) проведите прямую, параллельную диагонали BD
.
Решение. Через вершину C
меньшего основания трапеции ABCD
(AC=17
, BD=113
) проведём прямую, параллельную диагонали BD
. Пусть K
— точка пересечения этой прямой с прямой AD
. Тогда данная трапеция равновелика треугольнику ACK
. Известны стороны AC=17
, CK=113
и высота CM=15
этого треугольника. Из прямоугольных треугольников ACM
и KCM
находим, что
AM=\sqrt{AC^{2}-CM^{2}}=\sqrt{17^{2}-15^{2}}=\sqrt{(17-15)(17+15)}=\sqrt{64}=8,
KM=\sqrt{KC^{2}-CM^{2}}=\sqrt{113^{2}-15^{2}}=\sqrt{(113-15)(113+15)}=
=\sqrt{98\cdot128}=\sqrt{49\cdot256}=7\cdot16=112.
Если точка M
лежит между точками A
и K
(рис. 1), то
S_{ABCD}=S_{\triangle AKC}=\frac{1}{2}AK\cdot CM=\frac{1}{2}(AM+KM)\cdot CM=60\cdot15=900.
Если же точка A
лежит между точками M
и K
(рис. 2), то
S_{ABCD}=S_{\triangle AKC}=\frac{1}{2}AK\cdot CM=\frac{1}{2}(KM-AK)\cdot CM=52\cdot15=780.
Источник: Зубелевич Г. И. Сборник задач московских математических олимпиад. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 1971. — № 556, с. 63
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 4.19, с. 31