13696. Точки P
и Q
лежат на диагонали BD
четырёхугольника ABCD
, причём BP=PQ=PD
. Прямая AP
пересекает сторону BC
в точке E
, а прямая AQ
пересекает сторону CD
в точке F
. Докажите, что:
а) если ABCD
— параллелограмм, то E
и F
— середины BC
и CD
соответственно;
б) если E
и F
— середины BC
и CD
соответственно, то ABCD
— параллелограмм.
Решение. а) Пусть ABCD
— параллелограмм. Тогда треугольник BPE
подобен треугольнику DPA
с коэффициентом \frac{BP}{PD}=\frac{1}{2}
, поэтому BE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC
, т. е. E
— середина стороны BC
. Аналогично, F
— середина стороны CD
.
б) Пусть E
и F
— середины сторон соответственно BC
и CD
четырёхугольника ABCD
. Тогда EF
— средняя линия треугольника BCD
, поэтому EF\parallel BD
и EF=\frac{1}{2}BD
.
Поскольку PQ\parallel EF
, то
\frac{AP}{AE}=\frac{PQ}{EF}=\frac{\frac{1}{3}BD}{\frac{1}{2}BD}=\frac{2}{3}=\frac{DP}{DB},
поэтому \frac{AP}{PE}=\frac{DP}{PB}
. Значит, AD\parallel DE
, т. е. AD\parallel BC
. Аналогично, AB\parallel CD
. Следовательно, ABCD
— параллелограмм.