13697. Площадь трапеции равна 2, а сумма диагоналей равна 4. Найдите высоту трапеции.
Ответ. \sqrt{2}
.
Решение. Пусть диагонали трапеции равны d_{1}
и d_{2}
, угол между ними равен \alpha
, а площадь равна S
. Тогда
2=S=\frac{1}{2}d_{1}d_{2}\sin\alpha\leqslant\frac{1}{2}d_{1}d_{2}\leqslant\frac{1}{2}\left(\frac{d_{1}+d_{2}}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{4}{2}\right)^{2}=2.
Значит, \alpha=90^{\circ}
и d_{1}=d_{2}
, поэтому трапеция равнобедренная, её диагонали перпендикулярны и каждая из них равна 2.
Пусть ABCD
— данная трапеция с основаниями BC
и AD
, BH
— её высота. Тогда треугольник BHD
прямоугольный и равнобедренный. Следовательно,
BH=DH=BD\sin\angle BDH=BD\sin45^{\circ}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.