1370. Из вершины A
треугольника ABC
опущены перпендикуляры AM
и AP
на биссектрисы внешних углов B
и C
. Докажите, что отрезок PM
равен половине периметра треугольника ABC
.
Указание. Пусть прямые AM
и AP
пересекают прямую BC
в точках K
и L
. Тогда отрезок KL
равен половине периметра исходного треугольника, а MP
— средняя линия треугольника AKL
.
Решение. Пусть прямые AM
и AP
пересекают прямую BC
в точках K
и L
. Поскольку высоты BM
и CP
треугольников ABK
и ACL
являются их биссектрисами, то эти треугольники равнобедренные, поэтому BK=AB
и CL=AC
. Значит, отрезок KL
равен периметру треугольника ABC
.
Высоты BM
и CP
равнобедренных треугольников ABK
и ACL
являются их медианами, поэтому точки M
и P
— середины отрезков AK
и AL
. Значит, MP
— средняя линия треугольника AKL
. Следовательно, отрезок MP
равен половине отрезка KL
, т. е. половине периметра треугольника ABC
.
