13714. Произведение косинусов трёх углов треугольника равно \frac{1}{8}
. Докажите, что треугольник равносторонний.
Решение. Заметим, что такой треугольник остроугольный. Пусть \alpha
, \beta
и \gamma
— углы треугольника, и \cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=\frac{1}{8}
. Тогда
\frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta))\cos\gamma=\frac{1}{8},
откуда, учитывая, что \cos\gamma\gt O
, получаем, что
\cos(\alpha-\beta)=\frac{1}{4\cos\gamma}-\cos(\alpha+\beta)=\frac{1}{4\cos\gamma}+\cos\gamma\geqslant2\sqrt{\frac{1}{4\cos\gamma}\cdot\cos\gamma}=1.
Значит, \cos(\alpha-\beta)=1
. Тогда \alpha=\beta
. Аналогично докажем, что \alpha=\gamma
. Следовательно,
\alpha=\beta=\gamma=60^{\circ}.
Отсюда получаем утверждение задачи.