13715. Точки D
и E
расположены на сторонах соответственно AC
и AB
треугольника ABC
, причём \angle DBC=2\angle ABD
и \angle ECB=2\angle ACE
. Отрезки BD
и CE
пересекаются в точке O
, причём OD=OE
. Определите вид треугольника ABC
.
Ответ. Треугольник ABC
либо прямоугольный с прямым углом при вершине A
, либо равнобедренный с основанием BC
.
Решение. Обозначим \angle A=\alpha
, \angle ABD=\beta
, \angle ACE=\gamma
. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle BEC=\alpha+\gamma,~\angle BDC=\alpha+\beta.
По теореме синусов из треугольников BOE
и COD
получаем
\frac{OE}{\sin\beta}=\frac{BE}{\sin(\alpha+\beta+\gamma)},~\frac{OD}{\sin\gamma}=\frac{CD}{\sin(\alpha+\beta+\gamma)},
откуда
\frac{OE}{OD}=\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}\cdot\frac{BE}{CD}.
Аналогично, из треугольников BDC
и BEC
получаем
\frac{CD}{\sin2\beta}=\frac{BC}{\sin(\alpha+\beta)},~\frac{BE}{\sin2\gamma}=\frac{BC}{\sin(\alpha+\gamma)},
откуда
\frac{BE}{CD}=\frac{\sin2\gamma}{\sin2\beta}\cdot\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha+\gamma)}.
Значит,
\frac{OE}{OD}=\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}\cdot\frac{BE}{CD}=\frac{OE}{OD}=\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}\cdot\frac{\sin2\gamma}{\sin2\beta}\cdot\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha+\gamma)}=
=\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}\cdot\frac{2\sin\gamma\cos\gamma}{2\sin\beta\cos\beta}\cdot\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha+\gamma)}=\frac{\cos\gamma}{\cos\beta}\cdot\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha+\gamma)}=
=\frac{\cos\gamma(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)}{\cos\beta(\sin\alpha\cos\gamma+\cos\alpha\sin\gamma)}=\frac{\sin\alpha+\tg\beta\cos\alpha}{\sin\alpha+\tg\gamma\cos\alpha}.
Тогда
OD=OE~\Leftrightarrow~\sin\alpha+\tg\beta\cos\alpha=\sin\alpha+\tg\gamma\cos\alpha~\Leftrightarrow~\tg\beta\cos\alpha=\tg\gamma\cos\alpha.
Значит, либо \cos\alpha=0
, и тогда \alpha=90^{\circ}
, либо \tg\beta=\tg\gamma
, и тогда \beta=\gamma
.
В первом случае треугольник ABC
либо прямоугольный с прямым углом при вершине A
, во втором — равнобедренный с основанием BC
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2003, № 2, задача 2714 (2002, с. 111), с. 116