13722. Прямая AB
— касательная к окружности с диаметром AC
окружности, а отрезок BC
пересекает окружность в точке D
. Известно, что AC=1
, AB=a
и CD=b
. Докажите, что
\frac{1}{a^{2}+\frac{1}{2}}\lt\frac{b}{a}\lt\frac{1}{a^{2}}.
Решение. Обозначим \angle ACD=\gamma
, (0^{\circ}\lt\gamma\lt90^{\circ}
). Тогда
\tg\gamma=\frac{AB}{AC}=a,~\cos\gamma=\frac{CD}{AC}=b.
Значит,
\frac{b}{a}\lt\frac{1}{a^{2}}~\Leftrightarrow~ab\lt1~\Leftrightarrow~\sin\gamma\lt1.
Последнее неравенство очевидно.
При этом
\frac{1}{a^{2}+\frac{1}{2}}\lt\frac{b}{a}~\Leftrightarrow~2a^{2}-2\cdot\frac{a}{b}+1\gt0~\Leftrightarrow~2\tg^{2}\gamma-2\cdot\frac{\tg\gamma}{\cos\gamma}+1\gt0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~2\frac{\sin^{2}\gamma}{\cos^{2}\gamma}-2\cdot\frac{\tg\gamma}{\cos\gamma}+1\gt0~\Leftrightarrow~2\sin^{2}\gamma-2\sin\gamma+\cos^{2}\gamma\gt0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\sin^{2}\gamma-2\sin\gamma+1\gt0~\Leftrightarrow~(\sin\gamma-1)^{2}\gt0.
Последнее неравенство очевидно.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2003, № 7, задача 1, с. 436
Источник: Шведские математические олимпиады. — 1997