13724. Высота CD
треугольника ABC
пересекает биссектрису BK
этого треугольника и высоту KL
треугольника BKC
в точках M
и N
соответственно. Описанная окружность треугольника BKN
вторично пересекает отрезок AB
в точке P
. Докажите, что треугольник KPM
равнобедренный.
Решение. Обозначим \angle ABC=\beta
. Четырёхугольник PBNK
вписан в окружность, BK
— биссектриса угла ABC
, а KL\perp BC
, поэтому
\angle KNP=\angle KBP=\frac{\beta}{2},~\angle NCL=90^{\circ}-\beta.
Значит,
\angle KNM=\angle CNL=\beta,
поэтому
\angle KNP=\angle CNL=\beta,
а так как \angle KNP=\frac{\beta}{2}
, то NP
— биссектриса угла KNM
.
Поскольку KMN
— внешний угол треугольника BCM
, то
\angle KMN=\angle MBC+\angle MCB=\frac{\beta}{2}+(90^{\circ}-\beta)=90^{\circ}-\frac{\beta}{2}=90^{\circ}-\angle MNP.
Значит, NP\perp KM
.
В треугольнике KMN
биссектриса, проведённая из вершины N
, является высотой, поэтому треугольник равнобедренный, NK=NM
. Тогда треугольники PKN
и PMN
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, PK=PM
, т. е. треугольник KPM
равнобедренный. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2003, № 7, задача 4, с. 430
Источник: Украинские математические олимпиады. — 1998, 11 класс