13728. AD
— высота треугольника ABC
. Точки E
и F
— проекции точки D
на стороны AB
и AD
соответственно, точки G
и H
— точки на сторонах AB
и AC
, причём DG\parallel AC
и DH\parallel AB
. Докажите, что:
а) прямые EF
и GH
пересекаются в точке, лежащей на прямой BC
;
б) эта точка и точки, аналогично определённые для двух других высот, лежат на одной прямой.
Решение. а) Отрезок DG
— высота прямоугольного треугольника ADB
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому \frac{AE}{EB}=\frac{AD^{2}}{BD^{2}}
(см. задачу 1946). Аналогично, \frac{AF}{FC}=\frac{AD^{2}}{CD^{2}}
.
Пусть A^{*}
— точка пересечения прямых BC
и EF
. Докажем, что точка A^{*}
лежит на прямой GH
.
Действительно, по теореме Менелая для треугольника ABC
и прямой EA^{*}
получаем, что
1=\frac{BA^{*}}{CA^{*}}\cdot\frac{CF}{FA}\cdot\frac{AE}{EB}=\frac{BA^{*}}{CA^{*}}\cdot\frac{CD^{2}}{AD^{2}}\cdot\frac{AD^{2}}{BD^{2}},
откуда \frac{BA^{*}}{CA^{*}}=\frac{BD^{2}}{CD^{2}}
. Из параллельности DG
и AC
получаем, что \frac{AG}{GB}=\frac{CD}{DB}
, а из параллельности DH
и AB
— \frac{CH}{HA}=\frac{CD}{DB}
. Значит,
\frac{BA^{*}}{CA^{*}}\cdot\frac{CH}{HA}\cdot\frac{AG}{GB}=\frac{BA^{*}}{CA^{*}}\cdot\frac{CH}{HA}\cdot\frac{AG}{GB}=
=\frac{BA^{*}}{CA^{*}}\cdot\frac{CD}{DB}\cdot\frac{CD}{DB}=\frac{BA^{*}}{CA^{*}}\cdot\frac{CD^{2}}{DB^{2}}=1.
Тогда по теореме Менелая точки A^{*}
, G
и H
лежат на одной прямой.
Следовательно, прямые GH
, EF
и BC
пересекаются в точке A^{*}
. Утверждение пункта а) доказано.
б) Аналогичные утверждения
\frac{AB^{*}}{CB^{*}}=\frac{AP^{2}}{CP^{2}},~\frac{AC^{*}}{BC^{*}}=\frac{AR^{2}}{BP^{2}}
верны для соответствующих точек B^{*}
и C^{*}
, и оснований P
и R
высот BP
и CR
треугольника ABC
.
По теореме Чевы для точек D
, P
и R
верно равенство
\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CP}{PA}\cdot\frac{AR}{RB}=1.
Значит,
\frac{BA^{*}}{CA^{*}}\cdot\frac{CB^{*}}{B^{*}A}\cdot\frac{AC^{*}}{B^{*}B}=\left(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CP}{PA}\cdot\frac{AR}{RB}\right)^{2}=1.
Следовательно, по теореме Менелая, точки A^{*}
, B^{*}
и C^{*}
лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2003, № 8, задача 2797 (2002, с. 535), с. 526