1373. Докажите, что если стороны a
, b
и противолежащие им углы \alpha
и \beta
треугольника связаны соотношением \frac{a}{\cos\alpha}=\frac{b}{\cos\beta}
, то треугольник — равнобедренный.
Указание. Примените теорему синусов.
Решение. Разделим почленно данное равенство на равенство
\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}
(теорема синусов). Получим равенство
\tg\alpha=\tg\beta.
Поскольку каждый из углов \alpha
и \beta
меньше 180^{\circ}
, то \alpha=\beta
. Следовательно, данный треугольник — равнобедренный.
Источник: Куланин Е. Д., Федин С. Н. Геометрия треугольника в задачах: Экспериментальное учебное пособие для 8—10 кл. школ физико-математического направления. — М.: НИИ школ, 1990. — № 10, с. 5