13733. Точка D
— середина не содержащей точки A
дуги BC
описанной окружности остроугольного треугольника ABC
. Точка E
симметрична точке D
относительно прямой BC
, DF
— диаметр описанной окружности, а точка K
— середина отрезка AE
. Докажите, что:
а) описанная окружность треугольника с вершинами в серединах сторон треугольника ABC
проходит через точку K
;
б) прямая, проходящая через точку K
и середину стороны BC
, перпендикулярна AF
.
Решение. а) Пусть L
, M
и N
— середины сторон соответственно AB
, BC
и AC
треугольника ABC
. Отрезки KL
и KN
— средние линии треугольников ABE
и ACE
, поэтому KL\parallel BE
и KN\parallel CE
. Значит, \angle LKN=\angle BEC
. Отрезки LM
и NM
— средние линии треугольника ABC
, поэтому ML\parallel AC
и MN\parallel AB
. Значит, \angle LMN=\angle BAC
.
Точка M
— общая середина отрезков BC
и ED
, поэтому BECD
— ромб. Значит, \angle BEC=\angle BDC
. Тогда, учитывая, что четырёхугольник ABCD
вписанный, получим
\angle LKN+\angle LMN=\angle BEC+\angle BAC=\angle BDC+\angle BAC=180^{\circ}.
Следовательно, точка K
лежит на описанной окружности KLN
. Что и требовалось доказать.
б) Отрезок KM
— средняя линия треугольника AED
поэтому KM\parallel AD
. Точка A
лежит на окружности с диаметром DF
поэтому AD\perp AF
. Следовательно, KM\perp AF
. Что и требовалось доказать.