13737. Точки M
и N
перемещаются по сторонам соответственно OX
и OY
данного угла XOY
, причём сумма OM+ON
остаётся постоянной. Найдите геометрическое место середин отрезков MN
.
Ответ. Отрезок с концами на сторонах данного угла, отсекающий от угла равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны половине данной суммы.
Решение. Пусть OM+ON=2a
и OM\gt ON
(рис. 1). Отметим на лучах OX
и OY
такие точки A
и B
соответственно, для которых OA=OB=a
. Докажем, что искомое ГМТ — отрезок AB
.
Пусть отрезки AB
и MN
пересекаются в точке K
. По теореме Менелая для треугольника OMN
и прямой AKB
получаем
\frac{MA}{AO}\cdot\frac{OB}{BN}\cdot\frac{NK}{KM}=1,
а так как OA=OB
и
MA=OM-OA=(2a-ON)-OA=(2a-ON)-a=
=a-ON=OB-ON=BN,
то KN=KM
, т. е. середина K
отрезка MN
лежит на отрезке AB
. Аналогично для OM\lt ON
.
Обратно, пусть K
— произвольная точка отрезка AB
. На продолжении отрезка OK
за точку K
отложим отрезок KO'=KO
(рис. 2). Через точку O'
параллельно сторонам данного угла проведём прямые, пересекающие стороны OX
и OY
в точках M
и N
соответственно. Тогда ONO'M
— параллелограмм, потому MK=KN
. По теореме Менелая для треугольника OMN
и прямой AKB
получаем
\frac{MA}{AO}\cdot\frac{OB}{BN}\cdot\frac{NK}{KM}=1,
а так как OA=OB
и MK=KN
, то AM=MN
. Тогда
OM+ON=a+AM+a-BN=2a,
т. е. каждая точка K
отрезка AB
— середина какого-то отрезка MN
.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2004, № 5, задача 5, с. 272
Источник: Турецкие математические олимпиады. — 2002