13751. Угол при вершине A
равнобедренного треугольника ABC
равен 120^{\circ}
. Прямая, проведённая через точку A
перпендикулярно AB
, пересекает сторону BC
в точке D
. Радиус окружности, вписанной в треугольник ACD
, равен 1. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. \sqrt{3}(3+\sqrt{3})^{2}=12+7\sqrt{3}
.
Решение. Обозначим, AC=AB=a
. Тогда BC=a\sqrt{3}
.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle CAD=\angle ADB-\angle ACD=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}=\angle ACD.
Тогда равнобедренные треугольники ABC
и DAC
подобны, причём коэффициент подобия равен
\frac{BC}{AC}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}.
Обозначим S
, p
и r
— площадь, полупериметр и радиус вписанной окружности треугольника ABC
, а r'
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
. Тогда
S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin120^{\circ}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4},
p=\frac{1}{2}(a+a+a\sqrt{3})=\frac{1}{2}a(2+\sqrt{3}),
r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}}{\frac{1}{2}a(2+\sqrt{3})}=\frac{a\sqrt{3}}{2(2+\sqrt{3})},
а так как из подобия
r=r'\sqrt{3}=\sqrt{3},
то
\frac{a\sqrt{3}}{2(2+\sqrt{3})}=\sqrt{3}~\Rightarrow~a=2(2+\sqrt{3}).
Следовательно,
S=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=4(2+\sqrt{2})^{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}(3+\sqrt{3})^{2}=12+7\sqrt{3}.
Примечание. Также можно использовать равенство \tg15^{\circ}=2-\sqrt{3}
.