13755. Прямая, параллельная стороне AD
выпуклого четырёхугольника ABCD
, последовательно пересекает отрезки AB
, AC
, BD
и CD
в точках E
, F
, G
и H
соответственно. Докажите, что отношение площадей четырёхугольников EBCF
и GBCH
равно отношению отрезков EF
и GH
.
Решение. Без ограничения общности будем считать, что расстояние от вершины C
до прямой AD
не больше расстояния до этой прямой от точки B
.
Пусть прямая, проведённая через вершину C
параллельно AD
, пересекает сторону AB
и диагональ BD
в точках X
и Y
соответственно. Тогда
\frac{EF}{XC}=\frac{AE}{AX}=\frac{DH}{DC}=\frac{HG}{CY},
поэтому \frac{EF}{GH}=\frac{CX}{CY}
.
Отношение площадей треугольников с равными высотами равно отношению оснований, поэтому
\frac{S_{\triangle EFX}}{S_{\triangle GHC}}=\frac{EF}{GH},~\frac{S_{\triangle XCF}}{S_{\triangle YCG}}=\frac{CX}{CY}=\frac{S_{\triangle XCB}}{S_{\triangle YCB}}.
Тогда
\frac{S_{\triangle EFX}}{S_{\triangle GHC}}=\frac{S_{\triangle XCF}}{S_{\triangle YCG}}=\frac{S_{\triangle XCB}}{S_{\triangle YCB}}=\frac{EF}{GH}.
Следовательно,
\frac{S_{EBCF}}{S_{GBCH}}=\frac{S_{\triangle EFX}+S_{\triangle XCF}+S_{\triangle XCB}}{S_{\triangle HGC}+S_{\triangle YCG}+S_{\triangle YCB}}=\frac{EF}{GH}.
Что и требовалось доказать.