13757. В прямоугольном треугольнике ABC
с прямым углом A
угол B
больше угла C
. Проведена высота AH
. Точка B'
симметрична B
относительно точки H
. Точка D
— проекция точки B'
на прямую AC
, точка E
— проекция точки D
на прямую BC
, точка F
— проекция точки B
на прямую AB'
, точка G
— проекция точки F
на прямую BC
. Докажите, что AH=DE+FG
.
Решение. Высота AH
треугольника ABB'
является его медианой, поэтому треугольник ABB'
равнобедренный. Из параллельности DB'
и AB
получаем, что треугольник DB'C
подобен треугольнику ABC
, а так как
\angle FB'B=\angle BB'A=\angle ABB'=\angle ABC,
то треугольник FBB'
тоже подобен треугольнику ABC
. Отношение соответствующих высот подобных треугольников равно коэффициенту подобия, поэтому
\frac{DE}{AH}=\frac{B'C}{BC},~\frac{FG}{AH}=\frac{BB'}{BC}.
Значит,
\frac{DE}{AH}+\frac{FG}{AH}=\frac{B'C}{BC}+\frac{BB'}{BC}=\frac{B'C+BB'}{BC}=\frac{BC}{BC}=1.
Следовательно,
AH=DE+FG.
Что и требовалось доказать.