13758. Диагонали четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке E
. Точки P
, Q
, R
, S
, M
и N
— середины отрезков AB
, BC
, CD
, DA
, AC
и BD
соответственно. Точка O
— вершина параллелограмма NEMO
. Докажите, что четырёхугольники OPAS
, MPAS
, ORCQ
и OSDR
равновелики.
Решение. При гомотетии с центром A
и коэффициентом 2 отрезок PS
переходит в параллельный ему отрезок BD
, а четырёхугольник MPAS
— в четырёхугольник CBAD
. Значит, S_{CBAD}=4S_{MPAS}
, или S_{MPAS}=\frac{1}{4}S_{ABCD}
.
Поскольку MO\parallel BD
, а BD\parallel PS
, то MO\parallel PS
. Значит, S_{\triangle OPS}=S_{\triangle MPS}
. Тогда
S_{OPAS}=S_{\triangle PAS}\pm S_{\triangle OPS}=S_{\triangle PAS}\pm S_{\triangle MPS}=S_{MPAS}=\frac{1}{4}S_{ABCD}.
Аналогично,
S_{OQBP}=S_{NQBP}=\frac{1}{4}S_{ABCD},~S_{ORCQ}=S_{MRCQ}=\frac{1}{4}S_{ABCD},
S_{OCDR}=S_{NCDR}=\frac{1}{4}S_{ABCD}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2005, № 3, задача 2931 (2004, с. 173, 175), с. 184