1376. Пусть AE
и CD
— биссектрисы равнобедренного треугольника ABC
(AB=BC
). Докажите, что \angle BED=2\angle AED
.
Указание. \angle AED=\angle DAE
.
Решение. Треугольники ABE
и CBD
равны по стороне и двум углам, значит, BD=BE
. Треугольники DBE
и ABC
равнобедренные с общим углом при вершине B
, поэтому \angle BED=\angle BCA
. Значит, DE\parallel AC
. Следовательно,
\angle AED=\angle CAE=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}\angle BCA=\frac{1}{2}\angle BED.
Примечание. Верно и обратное: если AE
и CD
— биссектрисы треугольника ABC
и \angle BED=2\angle AED
, а \angle BDE=2\angle EDC
, то треугольник ABC
— равнобедренный.