13764. Углы треугольника равны \alpha
, \beta
и \gamma
. Докажите что \tg^{2}\frac{\alpha}{2}+\tg^{2}\frac{\beta}{2}+\tg^{2}\frac{\gamma}{2}\lt2
тогда и только тогда, когда \tg\frac{\alpha}{2}+\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}\lt2
.
Решение. Поскольку
\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ},
то
\tg\frac{\alpha}{2}=\tg\left(90^{\circ}-\frac{\beta}{2}-\frac{\gamma}{2}\right)=\ctg\left(\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}\right)=\frac{1-\tg\frac{\beta}{2}\tg\frac{\gamma}{2}}{\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}},
откуда
\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\beta}{2}\tg\frac{\gamma}{2}+\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\gamma}{2}=1,
а так как
\left(\tg\frac{\alpha}{2}+\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}\right)^{2}=
=\tg^{2}\frac{\alpha}{2}+\tg^{2}\frac{\beta}{2}+\tg^{2}\frac{\gamma}{2}+2(\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\beta}{2}\tg\frac{\gamma}{2}+\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\gamma}{2})=
=\tg^{2}\frac{\alpha}{2}+\tg^{2}\frac{\beta}{2}+\tg^{2}\frac{\gamma}{2}+2,
то
\tg^{2}\frac{\alpha}{2}+\tg^{2}\frac{\beta}{2}+\tg^{2}\frac{\gamma}{2}\lt2~\Leftrightarrow~\tg\frac{\alpha}{2}+\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}\lt2.
Что и требовалось доказать.