13768. Точка P
лежит на стороне BC
треугольника ABC
(или на её продолжении). Прямая, проходящая через вершину B
параллельно AC
, пересекает прямую AP
в точке A_{1}
, а прямая, проходящая через вершину C
параллельно AB
, пересекает прямую AP
в точке A_{2}
. Докажите, что площадь треугольника ABC
есть среднее геометрическое площадей треугольников A_{1}BC
и A_{2}BC
.
Решение. Пусть H
, H_{1}
и H_{2}
— основания перпендикуляров, опущенных на прямую BC
из точек A
, A_{1}
и A_{2}
соответственно. Треугольник A_{1}BP
подобен треугольнику ACP
, а треугольник ABP
— треугольнику A_{2}CP
, поэтому
\frac{AH}{A_{1}H_{1}}=\frac{CP}{BP},~\frac{AH}{A_{2}H_{2}}=\frac{BP}{CP}.
Перемножив эти равенства, получим AH^{2}=A_{1}H_{1}\cdot A_{2}H_{2}
.
Поскольку AH
, A_{1}H_{1}
и A_{2}H_{2}
— высоты треугольников ABC
, A_{1}BC
и A_{2}BC
с общим основанием BC
, то отношение площадей этих треугольников равно отношению их соответствующих высот, т. е.
\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A_{1}BC}}=\frac{AH}{A_{1}H_{1}},\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A_{2}BC}}=\frac{AH}{A_{2}H_{2}}.
Перемножив эти равенства, получим
S_{\triangle ABC}^{2}=S_{\triangle A_{1}BC}\cdot S_{\triangle A_{2}BC}\cdot\frac{AH}{A_{1}H_{1}}\cdot\frac{AH}{A_{2}H_{2}}=
=S_{\triangle A_{1}BC}\cdot S_{\triangle A_{2}BC}\cdot\frac{AH^{2}}{A_{1}H_{1}\cdot A_{2}H_{2}}=S_{\triangle A_{1}BC}\cdot S_{\triangle A_{2}BC}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2005, № 7, задача 2974 (2004, с. 368б 372), с. 466