1377. Пусть AE
и CD
— биссектрисы треугольника ABC
, \angle BED=2\angle AED
и \angle BDE=2\angle EDC
. Докажите, что треугольник ABC
равнобедренный.
Указание. Докажите, что BM\perp DE
.
Решение. Пусть M
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
, N
— точка пересечения биссектрис треугольника BDE
. Обозначим
\angle EDC=\alpha,~\angle DEA=\beta.
Тогда
\angle BDN=\angle EDN=\alpha,~\angle BEN=\angle DEN=\beta.
При симметрии относительно прямой DE
луч DM
переходит в луч DN
, а луч EM
— в луч EN
, поэтому точка M
переходит в точку N
. Значит, MN\perp DE
, и биссектриса треугольника DBE
, проведённая из вершины B
, является высотой этого треугольника. Следовательно, треугольник DBE
равнобедренный, BD=BE
и \alpha=\beta
.
Треугольники ABE
и CBD
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому AB=BC
. Следовательно, треугольник ABC
равнобедренный.