13776. В треугольнике ABC
с острым углом при вершине A
проведены высоты BD
и CE
. На сторонах AB
и AC
как на диаметрах построены окружности \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
соответственно. Пусть M
— точка пересечения луча CE
с окружностью \Gamma_{1}
, N
— точка пересечения луча BD
с окружностью \Gamma_{2}
, причём точки M
и N
лежат внутри треугольника ABC
. Докажите, что AM=AN
.
Решение. Четырёхугольник AENC
вписанный, поэтому \angle ENA=\angle ECA
. Аналогично, из вписанного четырёхугольника ABMD
получаем \angle AMD=\angle ABD
, а так как из точек D
и E
сторона BC
видна под прямым углом, то четырёхугольник BCDE
тоже вписанный. Значит,
\angle ENA=\angle ECA=\angle ECD=\angle EBD=\angle ABD=\angle AMD.
Следовательно, треугольники AEN
и ANB
с общим углом при вершине A
подобны по двум углам. Аналогично, подобны треугольники ADM
и AMC
. Тогда \frac{AE}{AN}=\frac{AN}{AB}
и \frac{AD}{AM}=\frac{AM}{AC}
, откуда AN^{2}=AE\cdot AB
и AM^{2}=AD\cdot AC
.
Кроме того, из подобия прямоугольных треугольников ABD
и AEC
получаем, что
\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}~\Rightarrow~AE\cdot AB=AD\cdot AC,
поэтому
AN^{2}=AE\cdot AB=AD\cdot AC=AM^{2}.
Следовательно, AN=AM
.