13777. BD
— высота прямоугольного треугольника ABC
с прямым углом при вершине B
, а DE
— биссектриса треугольника BDC
. Точки M
и N
— середины отрезков BE
и CD
соответственно, а F
— точка пересечения прямых MN
и BD
. Докажите, что AD=2BF
.
Решение. Докажем более общее утверждение: если DC=kNC
и BE=kME
для некоторого k\gt1
, то AD=kBF
.
Пусть P
и Q
— точки на отрезках BC
и BD
соответственно, причём \frac{BC}{PC}=\frac{BD}{QD}=k
. Тогда QP\parallel DC
и PN\parallel BD
, поэтому
\frac{BD}{PN}=\frac{BD}{QD}=k.
Поскольку \frac{BE}{ME}=\frac{BD}{DQ}=k
, то QM\parallel DE
. Значит, треугольники BQP
и BDC
подобны, а поскольку QM
— биссектриса треугольника BQP
, а треугольники BQP
и ADB
подобны, то \frac{BQ}{PQ}=\frac{AD}{BD}
. Используя подобие треугольников BFM
и PNM
получим
\frac{BF}{PN}=\frac{BM}{PM}=\frac{BQ}{PQ}=\frac{AD}{DB}=\frac{AD}{kDQ}=\frac{AD}{kPN}.
Следовательно, AD=kDF
. Что и требовалось.
При k=2
получаем AD=2KD
.