13778. На сторонах треугольника ABC
вне его построены треугольники DBC
, ECA
и FAB
, причём
\angle DBC=\angle ECA=\angle FAB,~\angle DCB=\angle EAC=\angle FBA.
Докажите, что
AF+FB+BD+DC+CE+EA\geqslant AD+BE+CF.
Решение. По неравенству Птолемея (см. задачу 10938)
AB\cdot CD+AC\cdot BD\geqslant AD\cdot BC,
откуда
\frac{AB\cdot CD}{BC}+\frac{AC\cdot BD}{BC}\geqslant AD.
Из условия задачи следует, что треугольники BCD
, CAE
и ABF
подобны, поэтому
\frac{AB}{BC}=\frac{BF}{CD},~\frac{AC}{BC}=\frac{CE}{BD},
откуда
\frac{AB\cdot CD}{BC}=BF,~\frac{AC\cdot BD}{BC}=CE.
Значит,
BF+CE\geqslant AD.
Аналогично,
AF+CD\geqslant BE,~AE+BD\geqslant CF.
Сложив эти три неравенства, получим
AF+FB+BD+DC+CE+EA\geqslant AD+BE+CF.
Что и требовалось доказать.
Неравенство Птолемея обращается в равенство тогда и только тогда, когда вершины четырёхугольника в соответствующем порядке лежат на одной окружности. Если в нашей задаче достигается равенство, то четырёхугольники ABDC
, BCEA
и CAFB
должны быть вписанными. Тогда
\angle BAC=180^{\circ}-\angle BDC=180^{\circ}-\angle CEA=\angle ABC.
Аналогично,
\angle BCA=\angle ABC=\angle CAB.
Следовательно, треугольник ABC
равносторонний.
Кроме того,
\angle BDC=\angle CEA=\angle AFB=180^{\circ}-\angle ACB=120^{\circ}.
Аналогично, \angle AFB=\angle AEC=120^{\circ}
.
Таким образом, доказанное неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда треугольники ABC
и DEF
равносторонние.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2006, № 2, задача 3012 (2005, 45, 48), с. 117